布尔代数
Boolean Algebra Y = A·B + Ā·C
- 符号
- Y = A·B + Ā·C
- 单位
- operands ∈ {0, 1} · operators AND, OR, NOT, XOR
- 所属节
- 数字逻辑
- 发布
- 2026-09-05
- 作者
布尔代数是定义在只能取 0 与 1 的变量上的运算体系。与运算类似乘法，或运算类似加法，非运算类似取补，并有 A·Ā = 0 与 A + Ā = 1 这类普通算术中没有的恒等式。
以二值变量为对象、支撑所有数字电路的代数体系。
值得记住的恒等式
大部分化简只是把少数几条规则按对的顺序套用。吸收律与分配律承担了主要工作；冗余项定理（也称一致定理）则用来去掉引起毛刺的那一项。
| 名称 | 形式 | 作用 |
|---|---|---|
| 同一律 | A + 0 = A · 1 = A | 消去常量 |
| 幂等律 | A + A = A · A = A | 合并重复项 |
| 互补律 | A + Ā = 1 · A·Ā = 0 | 整个变量被消去 |
| 吸收律 | A + A·B = A · A(A + B) = A | 去掉冗余项 |
| 分配律 | A(B + C) = AB + AC | 在两种形式间转换 |
| 一致律 | AB + ĀC + BC = AB + ĀC | 去掉易生毛刺的 BC 项 |
SOP、POS 以及为何两者都要有
任何函数都可以写成积之和（若干与项再取或）或和之积（若干或项再取与）。两级与非-与非网络直接实现积之和；或非-或非网络直接实现和之积。哪种更省取决于真值表中 1 多还是 0 多，因此两种形式都要留在工具箱里。
- 标准积之和：真值表中输出为 1 的每一行对应一个与项。
- 标准和之积：输出为 0 的每一行对应一个或项。
- 最小项的编号是输出为 1 那一行的输入二进制值；最大项的编号对应输出为 0 的行。
- n 变量函数最多有 2ⁿ 个最小项，其反函数恰好拥有它没有的那些最小项。
无关项与实际化简
实际设计中常有不可能出现或输出无所谓的输入组合。在真值表中把它们标为 X，化简时便可按 0 或按 1 处理，取项数更少的那种。驱动七段数码管的译码器是经典例子：输入码 10 到 15 永不出现，因此各段的化简逻辑可以充分利用它们。
代数与物理相遇的地方
布尔代数假定门是瞬时且同时翻转的。当通往同一个门的两条路径延迟不同时，代数上被判为冗余的那一项——上表中的 BC——恰恰就是抑制毛刺的那一项。这里存在真实的张力：化简后的表达式更省更小，未化简的那个在特定情形下反而无毛刺。
化简 Y = ĀB̄C + ĀBC + AB̄C + ABC。前两项合并：ĀC(B̄ + B) = ĀC；后两项合并：AC(B̄ + B) = AC。于是 Y = ĀC + AC = C。八行真值表可验证：凡 C 为 1 的行输出均为 1。若设计停在四项形式，需要四个三输入与门加一个四输入或门；化简后连门都不需要。再看毛刺：若原电路真的用门实现 Y = ĀC + AC，当 C 保持高、A 发生变化时，两项可能同时短暂为 0，输出会因反相器延迟产生低电平毛刺——这正是一致定理存在的意义。
相邻条目
- 逻辑门 Logic Gate
架外延伸
Sources · 参考出处
- Physics LibreTexts https://phys.libretexts.org/Bookshelves/University_Physics/University_Physics_(OpenStax)/University_Physics_II_-_Thermodynamics_Electricity_and_Magnetism_(OpenStax)
- NIST https://www.nist.gov/pml/owm/si-units-electric-current